ADAMED ADAMED ADAMED ADAMED

Fraktale, czyli kiedy matematyka staje się piękna

AKADEMIA - Wykłady i artykuły

Benoît Mandelbrot, mimo swojego niepozornego wyglądu, jest jednym z najzdolniejszych matematyków ostatniego pięćdziesięciolecia. Francuz z żydowskimi korzeniami, urodzony w Polsce jest twórcą opisu fraktali, które choć jednoznacznie matematyczne, są niejednoznacznie piękne. 

Urodził się w 1924 roku w Warszawie, a już w 1936 r. wyemigrował z rodziną do Paryża, co młodemu uczonemu przyniosło wiele korzyści. Jego edukacją matematyczną zajął się stryj, Szolem Mandelbrot, jednak jego podejście do królowej nauk nie spodobało się Benoîtowi. Był on zwolennikiem wysoce abstrakcyjnej i teoretycznej matematyki. Młodzieniec wolał intuicyjne rozważania, które mogły zostać zastosowane w praktyce.

 

Żuk Mandelbrota
Źródło: wikimedia.org

Marzenia spełniają się w Ameryce

W 1958 r. wyjechał do Stanów Zjednoczonych, gdzie podjął pracę na Wydziale Badawczym IBM. Specyfiką tego miejsca była możliwość prowadzenia własnych badań, bez względu na opinię innych naukowców, co nie byłoby możliwe w ówczesnej Polsce. Mając dostęp do nowoczesnych komputerów, mógł zająć się tym, co naprawdę go interesowało, czyli zastosowaniem matematyki abstrakcyjnej w praktyce. Jego przeczucie sprawdziło się - prace jego poprzedników (często określane jako „matematyczne dziwolągi”) były idealnym narzędziem do opisania skomplikowanej rzeczywistości. Wokół nas jest bardzo mało kształtów idealnych - kul, kwadratów, stożków, a większość form występujących w przyrodzie możemy określić jako nieregularne. Mandelbrot wprowadził do matematycznego słownika pojęcie fraktala. Sam odkrył zbiór nazwany jego nazwiskiem, określany też czasem jako „żuk Mandelbrota” lub „odcisk palca Pana Boga”.

Trójkąt Sierpińskiego
Źródło: wikipedia.org

Czym właściwie są matematyczne dziwolągi?

I dlaczego Mandelbrot tak się nimi fascynował? Otóż odpowiedź nie jest taka prosta, bo fraktale nie mają jeszcze jasno sprecyzowanej definicji, ale zaliczamy do nich kształty, które np. są bardzo skomplikowane i nietypowe, są samopodobne (każda część figury wygląda jak pomniejszona całość) albo można je wyznaczyć za pomocą dość prostego, rekurencyjnego algorytmu. Ze względu na ich złożoność, najlepszym narzędziem do badania fraktali są komputery. Do popularnych fraktali możemy zaliczyć: Krzywą Kocha, dywan Sierpińskiego i trójkąt Sierpińskiego. Za pomocą tego ostatniego postaram się przybliżyć Ci sposób, w jaki powstają fraktale. Zaczynamy od zwykłego trójkąta równobocznego. Następnie łączymy środki jego boków i dostajemy 4 małe trójkąty równoboczne. Teraz usuwamy środkowy trójkąt, a z pozostałymi trzema figurami robimy dokładnie to samo (czyli dzielimy każdy z nich na 4 jeszcze mniejsze trójkąciki i wycinamy ten środkowy). Podobnie postępujemy z nowopowstałymi trójkątami. Jeśli będziemy powtarzać te czynności w nieskończoność, otrzymamy fraktal. Tak naprawdę nie można go dokładnie narysować, bo nie możemy usuwać trójkącików w nieskończoność - w pewnym momencie będą zbyt małe, żeby cokolwiek z nimi zrobić. Możemy narysować tylko jego przybliżoną formę i właśnie to jest główną ideą tej dziedziny matematyki: figury, które tworzy się poprzez ciągłe powtarzanie danego ruchu. Z tego powodu fraktali nie możemy opisać za pomocą tradycyjnej geometrii, o której każdy z nas uczy się w szkole.

Sześcian Sierpińskiego
Źródło: wikipedia.org

Na zdjęciu możecie zobaczyć także trójwymiarowy dywan Sierpińskiego w trzech wymiarach. Wracając do omawianego przed chwilą fraktala: trójkąt od którego zaczynamy całą zabawę nie musi być równoboczny, może być jak najbardziej dowolny.

Mandelbrot nie był pierwszą osobą, która rozwijała swoje zainteresowania w tym kierunku. Wspominane dzieła polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego, zostały stworzone przed opublikowaniem prac przez Mandelbrota. Jeszcze wcześniej została odkryta krzywa Peano czy zbiór Cantora, który konstruujemy w dość prosty sposób. Należy wziąć odcinek, podzielić go na 3 części i narysować go jeszcze raz pod spodem, ale bez części środkowej. Na dole otrzymujemy dwa krótsze odcinki, z którymi postępujemy tak samo - dzielimy każdy z nich na 3 części i przerysowujemy niżej bez środkowych odcinków. Oczywiście postępujemy tak w nieskończoność.

Krzywa Kocha
Źródło: wikipedia.org

Fraktale a prognoza pogody

Chociaż fraktale mogą wydawać się czystą abstrakcją matematyczną, to tak naprawdę mają bardzo szerokie zastosowanie w życiu codziennym. Wykorzystujemy je na przykład do kodowania obrazów cyfrowych, czyli po prostu kompresji zdjęć i obrazów. Są one także stosowane przy projektowaniu krajobrazów w grafice komputerowej. Dzięki fraktalom naukowcy mogą dokładniej opisywać układy dynamiczne, czyli wykresy z reguły bardzo dziwnych i skomplikowanych funkcji, na podstawie których są w stanie np. podać prognozę pogody na najbliższe dni. Fraktale znajdują także zastosowanie w przyrodniczych naukach, gdzie służą np. do opisania zjawisk biologicznych, czy budowy organizmów - sekwencje kodu w DNA (kwasie dezoksyrybonukleinowym) wykazują samopodobieństwo. Dzięki temu możemy odtwarzać historię ewolucji poszczególnych gatunków lub szukać ich wspólnych przodków.

A jeśli chcesz sam pobawić się fraktalami, polecam program Cinderella, który można pobrać ze strony cinderella.de. Może i Ty dokonasz kolejnego, przełomowego odkrycia.

Autor: Dominika Bakalarz, studentka 1. roku matematyki w the Queen’s College, University of Oxford, laureatka European Union Contest for Young Scientists 2015 i finalistka Intel International Science and Engineering Fair 2016, ambasadorka programu ADAMED SmartUP.

Serwis na swoich stronach www wykorzystuje m.in. pliki cookies

w celu zapewnienia Ci maksymalnego komfortu podczas przeglądania serwisu i korzystania z usług. Jeśli kontynuujesz przeglądanie naszej strony bez zmiany ustawień przeglądarki, przyjmujemy, że wyrażasz zgodę na użycie tych plików. Zawsze możesz zmienić ustawienia przeglądarki decydujące o ich użyciu.