ADAMED ADAMED ADAMED ADAMED

Tropikalna geometria

AKADEMIA - Wykłady i artykuły

Tropikalna geometria to niedawno powstała dziedzina matematyki, która wciąż się rozwija. Mimo egzotycznej nazwy łatwo dostrzec podobieństwa do tradycyjnej królowej nauk. Czym jest ten nietypowy matematyczny twór i jakie ma zastosowania?

Nowa dziedzina matematyki pozwala zamienić skomplikowane zbiory (np. zbiory pierwiastków wielomianów) na łatwiejsze (np. funkcje kawałkami liniowe). Przekłada się to na interesujące zastosowania w informatyce (optymalizacja złożoności obliczeniowej) lub ekonomii (optymalizacja kosztów lub zysków).

Geometrię tropikalną definiuje się w niezwykle prosty sposób. Wystarczy wybrać odpowiedni zbiór liczbowy i dwa rodzaje działań matematycznych (razem da nam to strukturę zwaną półpierścieniem).

Niech naszym zbiorem będą wszystkie liczby rzeczywiste oraz punkt w nieskończoności, który tu będziemy oznaczać, jako inf. (od angielskiego słowa infinity). Teraz zdefiniujmy dwa działania: tropikalne dodawanie (oznaczane „+”) oraz tropikalne mnożenie (oznaczane „*”) w następujący sposób:

a „+” b = min(a,b) (czyli mniejsza z liczb a i b albo dowolna z nich jeśli są równe),

a „*” b = a + b (zwykłe dodawanie).

Kilka przykładów:

6 „+” 1 = 1

6 „*” 1 =7

2 „+” 5 = 2

2 „*” 5 = 7

0 „*” 4 = 4

5 „+” inf = 5

5 „*” inf = inf

W tradycyjnej arytmetyce znamy cztery podstawowe operacje dwuargumentowe na liczbach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. W świecie tropikalnym poznaliśmy już dwa działania, ale czy możemy wydedukować pozostałe? Operacja dzielenia jest w pewien sposób przeciwna do mnożenia: dzieląc liczbę a przez liczbę b szukamy takiej liczby c, która spełnia zależność: liczba b pomnożona przez liczbę c jest równa liczbie a. Matematycznie zapisujemy to, jako: a/b = c a = b*c. Łatwo zauważyć, że w świecie tropikalnym oznacza to: a „/” b = c a = b „*” c = b + c. Zawsze możemy znaleźć taką liczbę c, która dodana (w tradycyjny sposób) do liczby b da nam liczbę a, więc nic nie stoi na przeszkodzie ku istnieniu tropikalnego dzielenia. Jednak przeprowadzając ten sam eksperyment myślowy w celu znalezienia sensownego opisu dla tropikalnego odejmowania zakończy się fiaskiem, np. nie istnieje liczba równa wyrażeniu 2„-”1. Właśnie z powodu nieistnienia odejmowania tropikalnego omawiana struktura jest półpierścieniem, a nie pierścieniem. Do spełnienia pełnej definicji potrzebujemy jeszcze wykazać przemienność, rozdzielność i istnienie elementów neutralnych obu nowych działań, ale to pozostawię, jako ćwiczenie dla zdeterminowanych czytelników.

To, co zrobiliśmy, aby zdefiniować świat tropikalny, to po prostu zamiana operacji dodawania i mnożenia na odpowiednio operację minimum i dodawania. Stąd mniej wdzięczną nazwą takiej struktury jest algebra min-plus.

Jednak, co to nam właściwie daje?

Tropikalne podnoszenie danej liczby do potęgi n rozumiem tu n-krotne mnożenie tropikalne tej liczby przez siebie, co odpowiada tradycyjnemu dodaniu do siebie tej liczby n razy, czyli po prostu pomnożeniu jej przez n.

x „^” n = x „*” x „*” x „*” … „*” x = x+x+x+…+x = x*n

Działają tu wzory skróconego mnożenia dla tropikalnego odpowiednika wyrażenia (a+b) ^n.

Otóż zachodzi:

(a „+” b) „^”n = n* min(a,b) = a „^” n „+” b „^”n.

Ponadto, możemy tutaj definiować wielomiany oraz funkcje wymierne, które zawsze będą fragmentami funkcji liniowych. W wyższych wymiarach zbiory zer takich funkcji tworzą wypukłe wielościany, czyli wszystkie funkcje tropikalne odpowiadają prostym przypadkom tradycyjnej algebry.

Ciekawym zagadnieniem jest także tropikalizacja twierdzeń i algorytmów – szukanie tropikalnego odpowiednika danego wyniku geometrycznego. Pociąga to za sobą pojawienie się interesujących problemów z pogranicza geometrii, kombinatoryki i analizy rzeczywistej, w tym problemów algorytmicznych.

Na koniec ciekawostka z etymologii: ten trochę dziwny termin został zaproponowany przez matematyka francuskiego Jean’a-Pierre’a Pin’a w dowód uznania dla matematyków brazylijskich.

Osobom zainteresowanym tematem polecam poniższe pozycje, aczkolwiek, jeśli nie jesteś studentem 2-3 roku matematyki to kilku pojęć będziesz musiał nauczyć się samodzielnie (lub zadając pytania na forum ADAMED SmartUP):

Tropical Geometry in the Tropics – Minicourse I – Itenberg – 01

Introduction to Tropical Geometry

Patroni honorowi

Partnerzy

Logo Logo Logo

Serwis na swoich stronach www wykorzystuje m.in. pliki cookies

w celu zapewnienia Ci maksymalnego komfortu podczas przeglądania serwisu i korzystania z usług. Jeśli kontynuujesz przeglądanie naszej strony bez zmiany ustawień przeglądarki, przyjmujemy, że wyrażasz zgodę na użycie tych plików. Zawsze możesz zmienić ustawienia przeglądarki decydujące o ich użyciu.