Tropikalna geometria

14 września 2016

Tropikalna geometria to niedawno powstała dziedzina matematyki, która wciąż się rozwija. Mimo egzotycznej nazwy łatwo dostrzec podobieństwa do tradycyjnej królowej nauk. Czym jest ten nietypowy matematyczny twór i jakie ma zastosowania?

Nowa dziedzina matematyki pozwala zamienić skomplikowane zbiory (np. zbiory pierwiastków wielomianów) na łatwiejsze (np. funkcje kawałkami liniowe). Przekłada się to na interesujące zastosowania w informatyce (optymalizacja złożoności obliczeniowej) lub ekonomii (optymalizacja kosztów lub zysków).

Geometrię tropikalną definiuje się w niezwykle prosty sposób. Wystarczy wybrać odpowiedni zbiór liczbowy i dwa rodzaje działań matematycznych (razem da nam to strukturę zwaną półpierścieniem).

Niech naszym zbiorem będą wszystkie liczby rzeczywiste oraz punkt w nieskończoności, który tu będziemy oznaczać, jako inf. (od angielskiego słowa infinity). Teraz zdefiniujmy dwa działania: tropikalne dodawanie (oznaczane „+”) oraz tropikalne mnożenie (oznaczane „*”) w następujący sposób:

a „+” b = min(a,b) (czyli mniejsza z liczb a i b albo dowolna z nich jeśli są równe),

a „*” b = a + b (zwykłe dodawanie).

Kilka przykładów:

6 „+” 1 = 1

6 „*” 1 =7

2 „+” 5 = 2

2 „*” 5 = 7

0 „*” 4 = 4

5 „+” inf = 5

5 „*” inf = inf

W tradycyjnej arytmetyce znamy cztery podstawowe operacje dwuargumentowe na liczbach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. W świecie tropikalnym poznaliśmy już dwa działania, ale czy możemy wydedukować pozostałe? Operacja dzielenia jest w pewien sposób przeciwna do mnożenia: dzieląc liczbę a przez liczbę b szukamy takiej liczby c, która spełnia zależność: liczba b pomnożona przez liczbę c jest równa liczbie a. Matematycznie zapisujemy to, jako: a/b = c ⬄ a = b*c. Łatwo zauważyć, że w świecie tropikalnym oznacza to: a „/” b = c ⬄ a = b „*” c = b + c. Zawsze możemy znaleźć taką liczbę c, która dodana (w tradycyjny sposób) do liczby b da nam liczbę a, więc nic nie stoi na przeszkodzie ku istnieniu tropikalnego dzielenia. Jednak przeprowadzając ten sam eksperyment myślowy w celu znalezienia sensownego opisu dla tropikalnego odejmowania zakończy się fiaskiem, np. nie istnieje liczba równa wyrażeniu 2„-”1. Właśnie z powodu nieistnienia odejmowania tropikalnego omawiana struktura jest półpierścieniem, a nie pierścieniem. Do spełnienia pełnej definicji potrzebujemy jeszcze wykazać przemienność, rozdzielność i istnienie elementów neutralnych obu nowych działań, ale to pozostawię, jako ćwiczenie dla zdeterminowanych czytelników.

To, co zrobiliśmy, aby zdefiniować świat tropikalny, to po prostu zamiana operacji dodawania i mnożenia na odpowiednio operację minimum i dodawania. Stąd mniej wdzięczną nazwą takiej struktury jest algebra min-plus.

Jednak, co to nam właściwie daje?

Tropikalne podnoszenie danej liczby do potęgi n rozumiem tu n-krotne mnożenie tropikalne tej liczby przez siebie, co odpowiada tradycyjnemu dodaniu do siebie tej liczby n razy, czyli po prostu pomnożeniu jej przez n.

x „^” n = x „*” x „*” x „*” … „*” x = x+x+x+…+x = x*n

Działają tu wzory skróconego mnożenia dla tropikalnego odpowiednika wyrażenia (a+b) ^n.

Otóż zachodzi:

(a „+” b) „^”n = n* min(a,b) = a „^” n „+” b „^”n.

Ponadto, możemy tutaj definiować wielomiany oraz funkcje wymierne, które zawsze będą fragmentami funkcji liniowych. W wyższych wymiarach zbiory zer takich funkcji tworzą wypukłe wielościany, czyli wszystkie funkcje tropikalne odpowiadają prostym przypadkom tradycyjnej algebry.

Ciekawym zagadnieniem jest także tropikalizacja twierdzeń i algorytmów – szukanie tropikalnego odpowiednika danego wyniku geometrycznego. Pociąga to za sobą pojawienie się interesujących problemów z pogranicza geometrii, kombinatoryki i analizy rzeczywistej, w tym problemów algorytmicznych.

Na koniec ciekawostka z etymologii: ten trochę dziwny termin został zaproponowany przez matematyka francuskiego Jean’a-Pierre’a Pin’a w dowód uznania dla matematyków brazylijskich.

Osobom zainteresowanym tematem polecam poniższe pozycje, aczkolwiek, jeśli nie jesteś studentem 2-3 roku matematyki to kilku pojęć będziesz musiał nauczyć się samodzielnie (lub zadając pytania na forum ADAMED SmartUP):

Tropical Geometry in the Tropics – Minicourse I – Itenberg – 01

Introduction to Tropical Geometry

Materiały o podobnej tematyce

Serwis na swoich stronach www wykorzystuje m.in. pliki cookies

w celu zapewnienia Ci maksymalnego komfortu podczas przeglądania serwisu i korzystania z usług. Jeśli kontynuujesz przeglądanie naszej strony bez zmiany ustawień przeglądarki, przyjmujemy, że wyrażasz zgodę na użycie tych plików. Zawsze możesz zmienić ustawienia przeglądarki decydujące o ich użyciu. Dowiedz się więcej o naszej polityce prywatności.